Bewiesenermassen unmöglich

In der letzten Kolumne haben wir relativ einfach bewiesen, dass √2 nicht als Bruch darstellbar ist. Im Mathematikstudium zeigt man weiter, dass auch die Kreiszahl π nicht als Bruch darstellbar ist. Diese simplen Beispiele illustrieren zweierlei: zum einen, dass in der Mathematik die Beweise zentral wichtig sind. Wer sich auf die abenteuerliche Reise in die Mathematik begibt und dieses schwierige Studium wählt, wird zuerst lernen müssen, wie man Beweise führt. Der Beweis, dass √2 und π nicht als Bruch darstellbar sind, offenbart zum anderen eine neue Kategorie von Beweismöglichkeiten.

Es gibt in der Mathematik Beweise, in denen man zeigt, dass etwas gar nicht gehen kann. Viele solche Beispiele sind auch für Laien verständlich: Der Ausdruck «Quadratur des Kreises» (gemeint ist die flächengleiche Umwandlung nur mit Zirkel und Lineal) will umgangssprachlich sagen, dass etwas unmöglich ist. Die Mathematik hat in der Tat sauber bewiesen, dass das gar nicht gehen kann (nicht: wir haben es bis jetzt einfach nicht geschafft). Gleichermassen ist es nicht möglich, mit Zirkel und Lineal alleine einen gegebenen Winkel durch drei zu teilen (probieren Sie es ruhig aus!). Diese Fragestellungen sind an sich simpel – die Beweise erfordern jedoch mindestens zwei Jahre Mathematikstudium.

Der Film «The Man Who Knew Infinity» über den genialen indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan zeigt einfühlsam auf, wie mühsam das Erlernen von Beweismethoden sein kann. Ramanujan verdanken wir wichtige Resultate, aber er hatte keine klassische mathematische Ausbildung und arbeitete mit Intuition statt Beweisen. Wer den mühsamen Weg aber geht, wird reich belohnt: Die Mathematik ist die einzige Wissenschaft, die dank rigorosen Beweismethoden gesicherte Resultate hat. Auch Philosophiestudierenden wird empfohlen, mathematische Logik so weit zu betreiben, dass sie wirklich verstehen, wann etwas sauber bewiesen ist und wann nicht.