Unendliches Billard

Stellen Sie sich einen Billardtisch ohne Löcher mit nur einer Kugel vor. In einer idealen Welt wird die Kugel mit genau dem gleichen Winkel von der Bande abprallen, wie sie zuvor auf die Bande aufgetroffen ist. Welche Muster ergeben sich, wenn die Kugel (wir betrachten sie der Einfachheit halber als Punkt) ohne Reibungsverluste immer weiter rollt, welche Bahn, man spricht hier passend von der Spur oder Trajektorie, wird die Kugel haben, wenn wir das unendlich lange laufen lassen?

Da gibt es die trivialen Fälle, bei denen man senkrecht an die Bande schiesst. Die Spur entspricht dann der Strecke von der einen zur gegenüberliegenden Bande (und zurück – aber das ist ja die gleiche Spur). Oder man schiesst eine Kugel von der Mitte der einen Bande nach rechts zur Mitte der nächsten Bande. Sie wird dort abprallen, zur nächsten Mitte (gegenüber der ersten) rollen, dann zur letzten Mitte und kommt wieder beim Start vorbei und das Spiel beginnt von neuem. Die letzten beiden Fälle sind sogenannte periodische Lösungen, weil sie immer wieder periodisch der gleichen Spur folgen. So weit, so unspektakulär.

Wenn man hingegen die Kugel völlig zufällig platziert und in einer völlig zufälligen Richtung (man nennt es uniformverteilt) einen Stoss versetzt, dann wird man nie (die Mathematik spricht von Wahrscheinlichkeit 0) eine solche periodische Lösung erhalten. Im Gegenteil wird die Spur mit der Zeit den ganzen Billardtisch überziehen. Sie denken vielleicht, dass die Kugel öfter in der Mitte vorbeikommt als gegen eine Ecke hin? Nein: Abgesehen davon, dass sie so nie genau in die Ecken kommt, werden alle Punkte gleich häufig beehrt: Wenn Sie einen beliebigen Quadratmillimeter des Tisches wählen, dann wird die Kugel gleich häufig vorbeikommen, egal, wo der Quadratmillimeter ist. Es kommt sogar noch schöner: Die Kugel wird jeden dieser Quadratmillimeter unendlich oft beehren.

Wer hätte das gedacht: Man beginnt mit einem Tisch, einer Kugel, einem Spielstock und der geometrischen Einsicht, dass der Eintritts- und Austrittswinkel gleich ist, und unvermittelt landet man bei der allseits bekannten Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Die Mathematik liegt eben überall verborgen.