Sag mir, wo die Zahlen sind, wo sind sie geblieben?

Stellen Sie sich einen Massstab der Länge 1 Meter vor. Er besteht aus lauter Punkten, alle Punkte sind 0 Meter lang und doch gibt es am Schluss einen Meter? Von welchen Zahlen kommt die Länge? Das wollten Sie schon immer wissen!

Am Anfang und am Schluss sind die beiden ganzen Zahlen 0 und 1. Eine einzelne Zahl ist ein Punkt, hat keine Länge. Auch 2 Zahlen nicht. Dann gibt es noch Brüche, eingezeichnet als Zentimeter.

Das sind 99 weitere Zahlen: 0,01, 0,02, … , 0,99. Diese haben alle auch Länge 0. Und 99 mal 0 gibt 0. Wieder Fehlanzeige.

Es gibt aber noch mehr Brüche im Intervall von 0 bis 1, sogar unendlich viele. Vielleicht haben Sie im Gymnasium bewiesen, dass die Menge der Brüche, die sogenannt rationalen Zahlen, abgezählt, also durchnummeriert werden kann, auch wenn es unendlich lange dauert? Das hat Folgen: Im Mathematikstudium zeigt man, dass man damit leider schon wieder insgesamt Länge 0 hat.

Vielleicht haben Sie im Gymnasium auch bewiesen, dass kein Bruch die Gleichung x² = 2 oder äquivalent dazu x² – 2 = 0 löst. Eine Lösung dieser Gleichung lautet √2. Und ebendieses √2 lässt sich nicht als Bruch darstellen. Vielleicht verstecken sich die meisten Zahlen in Lösungen von Gleichungen der Form a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x¹ + a₀ = 0 (wobei die a ganze Zahlen sein sollen und a_n ≠ 0)? Ein bisschen überraschend: Wieder kann man zeigen, dass man auch diese Menge von Zahlen, die sogenannten algebraischen Zahlen, abzählen kann. Damit ist die Länge all dieser Zahlen schon wieder 0.

Was soll es sonst noch für Zahlen geben? Auch die Mathematik kam bis ins 18. Jahrhundert gut ohne weitere Zahlen zurecht. Dann merkte man, dass da noch was fehlte. Heute nennt man Zahlen, die nicht algebraisch sind, transzendente Zahlen. Davon gibt es so viele, dass man sie nicht mal abzählen kann. Zwei bekannte Beispiele sind e und π. In diesen Zahlen ist die ganze Länge von 1 Meter versteckt. Jetzt wissen Sie es!