Die geheime Formel

Wenn Meier mal wieder unglaublich gut Kopfrechnen konnte.

Wie Meier das wieder mal im Kopf rechnen konnte: «Wenn das jedes Jahr um 1 Prozent zunimmt, dauert es 70 Jahre bis zur Verdopplung, bei 2 Prozent dauert es 35 Jahre, bei 5 Prozent 14 Jahre und bei 7 Prozent 10 Jahre.» Nach der Sitzung nehmen Sie verschämt den Taschenrechner und überprüfen: 1,0170 = 2,00676, sapperlott!, und 1,0235 = 1,99989, Mensch Meier!, und 1,0710 = 1,96715. Es stimmt also! Wie hat er das bloss gemacht? Kann der Typ so gut potenzrechnen? Vielleicht ja – aber höchstwahrscheinlich macht er genau das nicht!

Bei einer jährlichen Wachstumsrate von r (wobei 1 Prozent bedeutet: r = 0,01) ist offenbar die Gleichung (1+r)n = 2 nach n aufzulösen. Das geht auf drei Arten: a) Sie fragen Ihre Kinder, b) Sie springen ohne Zeitverlust zum letzten Abschnitt oder c) Sie reaktivieren Ihr Wissen aus dem Gymnasium und beginnen zu rechnen: Zuerst nimmt man auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus – den «ln» – und erhält ln([1+r]n) = ln(2). Vereinfachen der linken Seite mit Logarithmusregeln (Exponent vorstellen) ergibt n•ln(1+r). Dann benutzen wir, dass der Graph des Logarithmus in der Nähe von 1 etwa eine Steigung von 1 (oder geometrisch ausgedrückt: 45°) aufweist (die Ableitung von ln(x) ist 1/x, daher beträgt sie für x nahe 1 [also für kleine r] ungefähr 1). Da der ln(1) = 0 ist, können wir also ln(1+r) approximativ = r setzen. Dadurch erhalten wir n•r = ln(2). Da ln(2) etwa 0,7 ist, können wir nun näherungsweise sagen: n = 0,7/r. Weil wir zum Beispiel 1 Prozent als 0,01 in den Rechnungen führten, erweitern wir den Bruch auf der rechten Seite mit 100 und erhalten: n = 70/Rate, wobei jetzt die Rate r wieder in Prozent anzugeben ist.

Wann immer eine Grösse pro Zeiteinheit um r Prozent wächst, gilt für kleine r – je kleiner, desto genauer –, dass die Zeit bis zur Verdopplung n = 70/Rate beträgt. Das können Sie bei Szenarien des Bevölkerungswachstums, dem CO2-Ausstoss, dem Wirtschaftswachstum und den Zinsen anwenden. Apropos Zinsen: Die Formel gilt genau gleich für negative r mit der Zeit bis zur Halbierung: Wenn Sie einer (para)staatlichen Institution «freiwillig» Geld zu einem negativen Zinssatz von 1 Prozent leihen müssen, dann dauert es 70 Jahre, bis nur noch die Hälfte des Geldes übrig ist.

«Der beste Journalismus ist der,
den man liest, obwohl einen das Thema bis dahin gar nicht interessiert hat.
Beim MONAT passiert mir das ständig.»
Niko Stoifberg, Schriftsteller und Redaktor bei «getAbstract», über den «Schweizer Monat»