Die geheime Formel

Wie Meier das wieder mal im Kopf rechnen konnte: «Wenn das jedes Jahr um 1 Prozent zunimmt, dauert es 70 Jahre bis zur Verdopplung, bei 2 Prozent dauert es 35 Jahre, bei 5 Prozent 14 Jahre und bei 7 Prozent 10 Jahre.» Nach der Sitzung nehmen Sie verschämt den Taschenrechner und überprüfen: 1,01⁷⁰ = 2,00676, sapperlott!, und 1,02³⁵ = 1,99989, Mensch Meier!, und 1,07¹⁰ = 1,96715. Es stimmt also! Wie hat er das bloss gemacht? Kann der Typ so gut potenzrechnen? Vielleicht ja – aber höchstwahrscheinlich macht er genau das nicht!

Bei einer jährlichen Wachstumsrate von r (wobei 1 Prozent bedeutet: r = 0,01) ist offenbar die Gleichung (1+r)ⁿ = 2 nach n aufzulösen. Das geht auf drei Arten: a) Sie fragen Ihre Kinder, b) Sie springen ohne Zeitverlust zum letzten Abschnitt oder c) Sie reaktivieren Ihr Wissen aus dem Gymnasium und beginnen zu rechnen: Zuerst nimmt man auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus – den «ln» – und erhält ln([1+r]ⁿ) = ln(2). Vereinfachen der linken Seite mit Logarithmusregeln (Exponent vorstellen) ergibt n•ln(1+r). Dann benutzen wir, dass der Graph des Logarithmus in der Nähe von 1 etwa eine Steigung von 1 (oder geometrisch ausgedrückt: 45°) aufweist (die Ableitung von ln(x) ist 1/x, daher beträgt sie für x nahe 1 [also für kleine r] ungefähr 1). Da der ln(1) = 0 ist, können wir also ln(1+r) approximativ = r setzen. Dadurch erhalten wir n•r = ln(2). Da ln(2) etwa 0,7 ist, können wir nun näherungsweise sagen: n = 0,7/r. Weil wir zum Beispiel 1 Prozent als 0,01 in den Rechnungen führten, erweitern wir den Bruch auf der rechten Seite mit 100 und erhalten: n = 70/Rate, wobei jetzt die Rate r wieder in Prozent anzugeben ist.

Wann immer eine Grösse pro Zeiteinheit um r Prozent wächst, gilt für kleine r – je kleiner, desto genauer –, dass die Zeit bis zur Verdopplung n = 70/Rate beträgt. Das können Sie bei Szenarien des Bevölkerungswachstums, dem CO₂-Ausstoss, dem Wirtschaftswachstum und den Zinsen anwenden. Apropos Zinsen: Die Formel gilt genau gleich für negative r mit der Zeit bis zur Halbierung: Wenn Sie einer (para)staatlichen Institution «freiwillig» Geld zu einem negativen Zinssatz von 1 Prozent leihen müssen, dann dauert es 70 Jahre, bis nur noch die Hälfte des Geldes übrig ist.