Der optimale Gartenhag
Wie man mit einem gegebenen Hag die grösste Rasenfläche eingrenzt.
Eine zumindest bei Mathematiklehrkräften beliebte Aufgabe besteht darin, bei einer gegebenen Gartenhaglänge von sagen wir 20 Metern die grösste Fläche rechteckig zu umzäunen. Beispielsweise können Sie je 8 Meter Länge und 2 Meter Breite nehmen (8 + 8 + 2 + 2 = 20) und erhalten damit 2 × 8 = 16 Quadratmeter Fläche. Pröbeln Sie doch selber, ob es nicht noch besser geht.
Die optimale Lösung ist ein Quadrat mit 5 Metern Seitenlänge. Wir erhalten dann eine Fläche von 25 Quadratmetern. Bleiben wir vorerst im Garten, also in der Ebene, und fragen uns, ob man nicht eine grössere Fläche abdecken könnte, wenn wir nicht mehr fordern, dass es ein Rechteck ist, sondern eine beliebige, vollständig eingegrenzte Fläche. Unser Bauchgefühl denkt schnell an einen Kreis. In der Tat: Wenn Sie einen Kreis mit 20 Metern Umfang eingrenzen, ist die Fläche drinnen 31,83 Quadratmeter1 – eine Steigerung gegenüber dem Quadrat um 27,3 Prozent. Das ist in der Ebene in der Tat das Optimum.
Es gibt hier eine wichtige beweisphilosophische Einsicht: Wenn wir fordern, dass es ein Rechteck ist, sind wir einerseits zwar eingeschränkt, aber wir haben andererseits mehr Struktur, um die Optimalität mathematisch zu beweisen. In der Tat: Wenn wir fordern, dass die Fläche ein Rechteck ist, dann ist die Optimalität mit Gymnasialstoff zu beweisen. Wenn wir eine beliebige Fläche erlauben, ist diese zwar noch grösser, aber der Beweis der Optimalität ist erst im Mathematikstudium möglich.
Verlassen wir zum Schluss die Ebene und wechseln zum Raum, zu dreidimensionalen Objekten. Wenn Sie zu einer gegebenen Oberfläche im Raum das grösste Volumen in einem Quader eingrenzen müssen, dann ist der Würfel das Optimum. Wenn Sie die Forderung «Quader» fallenlassen und jeden beliebigen Körper zulassen, dann ist es die Kugel.
Das hat übrigens auch die Natur im Laufe der Evolutionsgeschichte durch Trial and Error herausgefunden. Aus diesem Grund gleichen Eisbären eher einer Kugel als einem Heizkörper: So haben sie im Verhältnis zum Körpervolumen am wenigsten Oberfläche, wo Wärme entweichen kann.
Der Umfang von 20 Meter ist 2rπ, also Radius r=10/π. Die Fläche ist F=r2π, also hier F=(100/π2)π=100/π=31,83 ↩
