Der Beweis ist erbracht – nach 158 Jahren
Viele Fragestellungen aus der Zahlentheorie sind einfach – ihre Lösungen dafür umso schwieriger.
Beim Begriff «Zahlentheorie» denken sich wohl die meisten: Zahlen sind doch schon etwas Theoretisches, Abstraktes – und jetzt gibt es allen Ernstes noch eine Theorie dazu? Ja, und zwar seit Tausenden von Jahren! Es geht dabei vor allem um ganze Zahlen (Teilbarkeitsregeln, Primzahlen) und das Lösen von Gleichungen.
Greifen wir ein einfaches Problem heraus: Suchen Sie eine Lösung der Gleichung
xa – yb = 1
derart, dass x, y, a und b alle aus der Menge {2, 3, 4, 5, 6, …} sein sollen (den natürlichen Zahlen >1). Ein solches Beispiel ist: 32 – 23 = 1 (denn 9 – 8 = 1). Legen Sie den Text einmal weg und pröbeln selber ein bisschen. Finden Sie noch weitere Lösungen?
Es würde nicht nur mich, sondern die ganze Fachwelt erstaunen, wenn Sie mittlerweile fündig geworden sein sollten, denn: Es gibt keine anderen Lösungen! Bereits 1844 stellte der belgische Mathematiker Eugène Charles Catalan diese Vermutung auf. Erst 2002 wurde sie bewiesen.
Diese Catalan-Vermutung gehört zu einer langen Reihe von Fragestellungen aus der Zahlentheorie, welche ein Laienpublikum verstehen kann, deren Lösung aber sehr lange Zeit nicht gefunden wurde und ausserordentlich schwierig ist. Viele solcher Probleme harren sogar noch heute der Lösung. Lange gehörte auch Pierre de Fermats (1607–1665) letzter Satz dazu. Gemäss diesem gibt es keine Lösungen von
xn + yn = zn
wobei n eine natürliche Zahl >2 ist und x, y und z positive ganze Zahlen sind (beim Satz des Pythagoras, beispielsweise 32 + 42 = 52, ist der Exponent n nicht grösser als 2). Der Beweis gelang auch hier erst 1994.
Nun fragen Sie sich vielleicht: Alles schön und gut, aber hat das Ganze auch einen praktischen Nutzen? Hier kommen wir zu einer weiteren Gemeinsamkeit von praktisch all diesen Resultaten: Sie sind für die praktische Anwendung komplett irrelevant – zumindest bis jetzt (obwohl etwa der Beweis von Fermats letztem Satz immerhin grosses Aufsehen erregt hat). Ein Kollege von mir aus der reinen (!) Mathematik ist jedoch optimistisch; er hat die These aufgestellt, dass jedes Resultat aus der reinen Mathematik irgendwann einmal eine Anwendung finde. Wie viele Jahre dauert es wohl, bis diese Vermutung bewiesen ist?
