Christoph Luchsinger, zvg.

Beweisen wie die alten Griechen

Wie die Griechen einen der ältesten bekannten Widerspruchsbeweise führten.

 

Beweisen, dass etwas existiert, ist schwer genug; Generationen von Theologen haben sich erfolglos an Gottesbeweisen abgemüht. Beweisen, dass etwas nicht existiert, ist noch schwerer – in der Mathematik aber möglich. So haben bereits die alten Griechen bewiesen, dass sich die Quadratwurzel aus 2 nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen darstellen lässt.

Mit √2 bezeichnen wir jene positive Zahl, die mit sich selber multipliziert 2 gibt. Stellen wir uns vor, es gäbe eine Darstellung √2 = p/q, wobei p und q je natürliche Zahlen sind, welche keine gemeinsamen Teiler enthalten (sonst kürzt man zuerst vollständig). Dann bekommt man durch Quadrieren 2 = p²/q². Das ist gleichbedeutend mit 2q² = p². Wegen des Faktors 2 ist p² offenbar eine gerade Zahl. Also muss auch p eine gerade Zahl sein, denn p² ist genau dann gerade, wenn p ­gerade ist (siehe 2 ² = 4, 3² = 9, 4 ² = 16 und so weiter). p ist also immer schon das Zweifache von einer ­natürlichen Zahl, nennen wir sie n: p = 2n. Wenn wir das oben in 2q² = p² einsetzen, erhalten wir 2q² = 4n². Das ist aber gleichbedeutend mit q² = 2n². Damit ist offenbar auch q² ­gerade und damit auch q selber. Das heisst, p und q haben als gerade Zahlen beide den gemeinsamen Teiler 2, was wir zu Beginn ausgeschlossen hatten. Wir sind damit mit der Beweisführung zu Ende; was wir hier gemacht haben, ist ein sogenannter ­Beweis durch Widerspruch: Man versucht eigentlich eine Aussage zu beweisen (√2 ist nicht als Bruch von natürlichen, teilerfremden Zahlen darstellbar). Dazu nimmt man an, dass das Gegenteil gilt (√2 ist als Bruch von natürlichen, ­teilerfremden Zahlen darstellbar), und stösst auf einen ­Widerspruch. Also muss die ursprüngliche Aus­sage richtig sein.

Das eigentlich Erstaunliche ist: Bedenkt man, wie viele mögliche Brüche eigentlich als Kandidaten zur Verfügung stehen, kann man sich zuerst gar nicht vorstellen, dass ­kategorisch ausgeschlossen werden kann, dass √2 sich als Bruch zweier natürlicher Zahlen darstellen lässt. Und doch haben die Griechen es geschafft und damit einen der ältesten bekannten Widerspruchsbeweise geführt.

«Der beste Journalismus ist der,
den man liest, obwohl einen das Thema bis dahin gar nicht interessiert hat.
Beim MONAT passiert mir das ständig.»
Niko Stoifberg, Schriftsteller und Redaktor bei «getAbstract», über den «Schweizer Monat»