Beweisen wie die alten Griechen
Wie die Griechen einen der ältesten bekannten Widerspruchsbeweise führten.
Beweisen, dass etwas existiert, ist schwer genug; Generationen von Theologen haben sich erfolglos an Gottesbeweisen abgemüht. Beweisen, dass etwas nicht existiert, ist noch schwerer – in der Mathematik aber möglich. So haben bereits die alten Griechen bewiesen, dass sich die Quadratwurzel aus 2 nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen darstellen lässt.
Mit √2 bezeichnen wir jene positive Zahl, die mit sich selber multipliziert 2 gibt. Stellen wir uns vor, es gäbe eine Darstellung √2 = p/q, wobei p und q je natürliche Zahlen sind, welche keine gemeinsamen Teiler enthalten (sonst kürzt man zuerst vollständig). Dann bekommt man durch Quadrieren 2 = p²/q². Das ist gleichbedeutend mit 2q² = p². Wegen des Faktors 2 ist p² offenbar eine gerade Zahl. Also muss auch p eine gerade Zahl sein, denn p² ist genau dann gerade, wenn p gerade ist (siehe 2 ² = 4, 3² = 9, 4 ² = 16 und so weiter). p ist also immer schon das Zweifache von einer natürlichen Zahl, nennen wir sie n: p = 2n. Wenn wir das oben in 2q² = p² einsetzen, erhalten wir 2q² = 4n². Das ist aber gleichbedeutend mit q² = 2n². Damit ist offenbar auch q² gerade und damit auch q selber. Das heisst, p und q haben als gerade Zahlen beide den gemeinsamen Teiler 2, was wir zu Beginn ausgeschlossen hatten. Wir sind damit mit der Beweisführung zu Ende; was wir hier gemacht haben, ist ein sogenannter Beweis durch Widerspruch: Man versucht eigentlich eine Aussage zu beweisen (√2 ist nicht als Bruch von natürlichen, teilerfremden Zahlen darstellbar). Dazu nimmt man an, dass das Gegenteil gilt (√2 ist als Bruch von natürlichen, teilerfremden Zahlen darstellbar), und stösst auf einen Widerspruch. Also muss die ursprüngliche Aussage richtig sein.
Das eigentlich Erstaunliche ist: Bedenkt man, wie viele mögliche Brüche eigentlich als Kandidaten zur Verfügung stehen, kann man sich zuerst gar nicht vorstellen, dass kategorisch ausgeschlossen werden kann, dass √2 sich als Bruch zweier natürlicher Zahlen darstellen lässt. Und doch haben die Griechen es geschafft und damit einen der ältesten bekannten Widerspruchsbeweise geführt.
